MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

		STANDAR KOMPETENSI

 

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat

	KOMPETENSI DASAR

Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

	INDIKATOR

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, dan rumus

MATERI

PERSAMAAN KUADRAT

            Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk :

ax² + bx + c = 0, dengan a, b, c  R dan a ≠ 0

Cara-cara menyelesaikan persamaan kuadrat:

1.      Memfaktorkan

Contoh soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran;

1. 
2. 
3. 

Penyelesaian:

1.     = 0

  = 0

            = 0       atau                 = 0

                     =       atau              = 5

Jadi, HP = {3, 5}

2.   = 0

      = 0

                  = 0    atau                 = 0

                                                  =

      Jadi, HP = {, 0}

	MATERI

3.    kalikan kedua ruas dengan

= 0    atau             = 0

              = 7    atau           =

Jadi, HP = {, 7}

2.      Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Contoh Soal:

Selesaikan persamaan dengan melengkapkan kuadrat.

Penyelesaian:

     

                        

        tiap ruas ditambah dengan (b)²

Jadi,

         atau    

3.      Menggunakan Rumus abc

Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat atau sering disebut dengan

Rumus abc adalah:

Contoh soal:

Gunakan rumus untuk menentukan akar-akar persamaan

Penyelesaian:

Maka,

      a = 1

      b = – 8

      c = 15

Substitusi nilai a, b, c ke rumus abc

Sehingga,

       

     

       atau    

             atau    

UJI KOMPETENSI

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan singkat dan tepat!

1.      Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut dengan pemfaktoran.

1. 
2. 
3. 

2.      Tentukan penyelesaian tiap persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat.

1. 
2. 
3. 
4. 

3.      Tentukan akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus.

1. 
2. 
3. 

B. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR PERSAMAAN KUADRAT

		STANDAR KOMPETENSI

 

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat

	KOMPETENSI DASAR

Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

	INDIKATOR

Menggunakan rumus  jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

MATERI

           

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

            Akar-akar persamaan kuadrat ax²+ bx + c = 0, berhubungan erat dengan koefisien-koefisien a, b, dan c.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat:

Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah  dan , maka :

dan

               

Sehingga jumlah akar-akar:

                       

Dan hasil kali akar-akar:

                       

Contoh soal:

Jika  dan  akar-akar persamaan kuadrat . Tentukan nilai:

1. 
2. 
3. 
4. 

Penyelesaian:

a = 1

            b = 5

            c = 6

maka,

            =               dan         =

            =                                       =

            =  – 5                                       = 6

Sehingga,

a.         =

                     = (–5)²

                     = 25 – 12

                     = 13

b.      =

= 13 – 12

= 1

c.           =

=

d.          =

=

UJI KOMPETENSI

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan singkat dan tepat!

1.      Jika  dan  akar-akar persamaan kuadrat . Tentukan nilai:

1. 
2. 
3. 
4. 

2.      Tentukan nilai a, jika kedua akar persamaan saling berlawanan

3.      Tentukan nilai m jika selisih akar-akar kuadrat 3x² + 5x – m = 0 adalah 2

4.      Akar-akar persamaan x² – ax – 60 = 0 mempunyai beda 7. Tentukan nilai a dan kedua akar-akarnya

5.      Diketahui akar-akar persamaan 2x² – 3ax + a + b = 0 adalah  dan . Jika  = , hitunglah nilai a yang memenuhi.

C. SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT

		STANDAR KOMPETENSI

 

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat

	KOMPETENSI DASAR

Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat

	INDIKATOR

§  Menyelidiki karakteristik grafik fungsi kuadrat dari bentuk aljabarnya.

§  Menggambar grafik fungsi kuadrat

§  Menentukan definit positif dan definit negatif

MATERI

           

Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat

            Fungsi kuadrat  memiliki bentuk umum . Dari bentuk aljabar tersebut dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut.

Jika,

1. a > 0, maka parabola terbuka ke atas
2. a < 0, maka parabola terbuka ke bawah
3. D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X
4. D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X
5. D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut

a.       Menentukan titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0

b.      Menentukan titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0

c.       Menentukan persamaan sumbu simetri

d.      Menentukan nilai ekstrim grafik

e.       Koordinat titik balik

Contoh soal:

Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat

Penyelesaian:

1. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0

  = 0

= 0

         x    = 0  atau (x + 4)  = 0

                                                x    =  – 4

Jadi memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (–4, 0)

2. Titik potong dengan sumbu Y, jika x = 0

maka,

            y = 0² + 4.0

               = 0

Jadi memotong sumbu Y di titik (0, 0)

3. Persamaan sumbu simetri

            Jadi persamaan sumbu simetrinya x = –2

4. Nilai Ekstrim/nilai stasioner, untuk x = –2

y = (–2)² + 4(–2)

   = –4

5. Koordinat titik balik:

(–2, –4)

UJI KOMPETENSI

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan singkat dan tepat!

1.      Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat di bawah ini

1. y = (x – 2)²
2. y = x² – 4x + 3
3. y = 8 – 2x – x²
4. y = (1 + x) ( 3 – x )
5. y = (2x – 9) (2x + 7)

2.      Manakah yang benar dan manakah yang salah?

1. kurva y = x² + 6x simetris terhadap garis x = 3
2. kurva y = (x – 1)(x + 5) simetris terhadap garis x = - 2
3. kurva y = x² – 2x + 5 tidak memotong sumbu X
4. Titik balik minimum kurva y = x² + 6x + 7 adalah (-3, -2)
5. Nilai maksimum kurva y = -x² + 2x + 4 adalah 4

D. PENERAPAN PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

		STANDAR KOMPETENSI

 

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat

	KOMPETENSI DASAR

Merancang dan menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat

	INDIKATOR

·         Membuat model matematika dari suatu masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan atau fungsi kuadarat

·         Menyelesaikan model matematika dari suatu masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan atau fungsi kuadarat

·         Menafsirkan penyelesaian masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan atau fungsi kuadrat

MATERI

           

Dalam penerapannya nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat dapat dinyatakan dengan kata-kata yang berlainan.

1. kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas, dan lain sebaginya dapat dihubungkan dengan pengertian nilai maksimum fungsi kuadrat.
2. Kata-kata terdekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, dan lain sebagainya dapat dihubungkan dengan pengertian nilai minimum fungsi kuadrat.

Contoh soal :

1.      Tentukan luas terbesar dari suatu persegi panjang jika keliling persegi panjang diketahui 60 cm

2.      Sebuah roket ditembakkan ke atas. Setelah t detik peluru mencapai ketinggian yang dirumuskan dengan h(t) = 40t – 5t² dalam meter. Tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?

Penyelesaian:

1.   Misal  :      panjang            = x cm

                        lebar                = y cm

                        keliling            = 2(x + y) cm

      maka,        

            2(x + y) = 60

              x + y   = 30

                    y     = (30 – x) cm

      Misal luas persegi panjang L(x)    = x . y cm

                                                            = x (30 – x)

                                                            =  30x – x²

      Luas bernilai maksimum   =  = = 225 cm²

      Jadi luas terbesar persegi panjang adalah 225 cm²

2.   h(t) = 40t – 5t²

      Waktu saat mencapai tinggi maksimum

                    t   =

                        =

                        = 4 detik

      Tinggi maksimum pada saat t = 4 detik

                 h(t) = 40(4) – 5(4)²

                        = 160 – 80

                        = 80 meter

                       

                       

UJI KOMPETENSI

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan singkat dan tepat!

1.      Diketahui 3x – y = 6, hitunglah nilai minimum dari x.y.

2.      Jumlah 2 bilangan sama dengan 100. tentukan hasil kali bilangan itu yang terbesar.

3.      Tinggi h meter dari sebuah peluru yang ditembakkan vertikal ke atas setelah t detik dinyatakan dengan rumus h = 42t – 3t². Tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?

4.      Jika keliling persegi panjang sama dengan 80 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.

5.      Suatu partikel bergerak di sepanjang suatu garis lurus. Jaraknya s meter dari suatu titik O pada waktu t detikditentukan oleh rumus s = 25t – 5t². tentukan jarak partikel itu pada saat 7 detik.