Definisi Matematika Menghitung 0!

Definisi Matematika Menghitung 0!

Beberapa hari lalu saya menerima email yang isinya singkat dan menarik,

“Mas, tolong bagaimana cara membuktikan bahwa 0! = 1 ?”

Untungya, saya sudah pernah sedikit membahas definisi 0! (0 faktorial) tersebut. Sehingga saya tinggal memberikan link saja.

Definisi itu penting. Bagaimana kita menyikapi definisi lebih penting lagi.

Dalam matematika kita mengenal beberapa istilah penting seperti definisi, aksioma, dan teorema.

Sayaa menyarankan agar kita dapat membedakan hal penting di atas dan memanfaatkannya dengan tepat. Meski sayangnya banyak guru dan penulis buku yang tidak memanfaatkan hal di atas dengan baik.

Misal dalam buku SD, sering muncul soal:

4 x 2 = ……………………………….. = …….

Baik, hasil akhir dari soal di atas adalah 8.
Tetapi prosesnya?

4 x 2 = 4 + 4 = 8 atau
4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 ?

Proses perhitungannya adalah masalah definisi. Sayaa menyarankan agar kita membenarkan dua proses perhitungan di atas.

Mari kembali kepada definisi, aksioma, dan teorema.

Definisi adalah pernyataan yang memperjelas suatu hal. Definisi mirip dengan makna atau arti. Definisi juga berperan membatasi suatu makna. Dalam matematika – modern – definisi terus berkembang sesuai kebutuhan.

Karena itu, definisi perlu kita pahami bukan harus kita buktikan. Definisi suatu hal juga boleh tidak tunggal. Masing-masing dapat mendefinisikan sesuatu agar lebih berguna.

0! = 1 adalah definisi.

Maka kita perlu memahaminya.

Ada banyak definisi tentang faktorial. Salah satunya, untuk n bilangan asli,

n! = n (n-1)! ; n >=1 dan
n! = 1 ; n = 0

Mari kita ikuti definisi ini.
1! = 1.(0!) = 1
2! = 2.(1!) = 2
3! = 3.(2!) = 6
4! = 4.(3!) = 4.6 = 24
dan seterusnya…

Dengan definisi 0! = 1 hal ini konsisten dengan perhitungan-perhitungan selanjutnya. Seandainya seseorang mendefinisikan 0! = 0 maka tidak akan konsisten dengan perhitungan di atas. Dan orang tersebut perlu menunjukkan apa manfaat dari definisi 0! = 0.

Sedangkan definisi 0! = 1 jelas bermanfaat untuk menghitung permutasi atau kombinasi misalnya.

Permutasi 5 dari 5 adalah,

5!/(5-5)! = 5!/0! = 5!/1 = 5.4.3.2 = 120.

Jadi, definisi perlu kita pahami. Perlu kita ketahui maksud dan gunanya. Tidak perlu kita buktikan – dan sebaiknya tidak usah dijadikan soal latihan matematika. Kita juga perlu menerima beragam definisi yang berbeda-beda.

Apakah aksioma itu?

Aksioma adalah pernyataan yang dianggap sudah jelas atau terbukti dengan sendirinya. Aksioma sudah dianggap benar. Misalnya setiap persegi memiliki 2 pasang sisi yang sejajar. Kerangka kubus memiliki 12 rusuk dan seterusnya.

Apakah aksioma perlu dibuktikan?

Ya. Perlu dibuktikan. Tetapi pembuktiannya sangat mudah. Tampak jelas di depan mata. Jadi tidak perlu dipermasalahka lagi.

Tidak. Tidak perlu dibuktikan. Toh sudah jelas!

Ada juga aksioma yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya tetapi penting. Aksioma tersebut kita sebut dengan postulat.

Postulat yang sangat terkenal adalah postulat Einstein yang menyatakan kecepatan maksimum adalah kecepatan cahaya = c.

Dalam logika matematika, kita juga mengenal premis sebagai pernyataan yang dianggap sudah jelas benar (atau salahnya).

Terakhir, apakah teorema itu?

Teorema adalah suatu pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya.

Teorema yang sangat terkenal adalah teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku.

a^2 + b^2 = c^2

Apakah perlu dibuktikan kebenaran dari suatu teorema?

Ya. Perlu. Bahkan pembuktian teorema dapat menjadi latihan yang sangat menarik dan bermanfaat.

Siswa-siswa dapat membuktikan kebenaran teorema Pythagoras dengan permainan-permainan matematika kreatif seperti mino milenium atau kubus milenium.