Definisi-definisi Matematika yang Penting

Definisi-definisi Matematika yang Penting

Bila ingin menundukkan seekor ayam, ikatlah kakinya.
Bila ingin menundukkan seekor kambing, ikatlah lehernya.
Ikatlah manusia dengan hati.
Ikatlah ilmu dengan mencatat.

Pada kesempatan ini saya ingin mencatat beberapa definisi matematika yang penting, menurut saya. Sebenarnya sih bukan matematika tetapi lebih khusus ke aljabar abstrak.

Himpunan (set): kumpulan dari sesuatu yang jelas.
Himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, 4, ….}
Himpunan bilangan asli yang kurang dari 6 = {1, 2, 3, 4, 5}
Himpunan bilangan bulat = {… -2, -1, 0, 1, 2, … }

Himpunan dapat saja memiliki anggota terbatas (finite) seperti {1, 2, 3}. Dapat juga himpunan memiliki anggota yang tidak terbatas (infinite) seperti {1, 2, 3, 4…}

Himpunan yang memiliki sifat-sifat khusus kita sebut sebagai grup (group).

Group adalah himpunan dengan operasi tertentu (*) yang

i. operasi * bersifat asosiatif
ii. terdapat elemen e sebagai elemen identitas
iii. setiap elemen memiliki invers

Group dengan sifat-sifat khusus kita sebut sebagai ring.

Ring adalah suatu himpunan dengan operasi + dan x yang
i. + adalah abelian group
ii. x adalah asosiatif
iii. x distributif terhadap +

Ring yang memenui sifat-sifat khusus kita sebut sebagai field.

Field adalah…
commutative ring with unity in which every nonzero element is invertible.

Nah…agak abstrak ya catatan saya di atas ya?

Bukan agak abstrak. Tapi benar-benar abstrak. Memang definisi-definisi di atas dipakai dalam bidang aljabar abstrak. Pasti abstrak juga dong…

Mari sedikit diskusi yang agak ringan. Saya sering mengingatkan kita himpunan apa yang sedang kita bicarakan?

Misal, dalam berhitung Saya menyarankan kita agar membatasi pembahasan hanya dalam himpunan bilangan bulat.

Ketika hendak mengenalkan kosep pembagian kepada anak-anak perkenalkan konsep berikut:

4 : 2 = ….
6 : 2 = ….
10 : 2 = ….

Hati-hati, meski pun anak-anak sudah dapat meghitung 10:2 = … jangan buru-buru memperkenalkan

5 : 2 = ….

Kesulitan yang sering muncul biasanya ketika memperkenalkan penarikan akar kuadrat atau segitiga siku-siku Pythagoras.

Misal anak-anak sudah lancar menghitung

akar 16 = ….
akar 25 = ….
akar 49 = ….

Jangan buru-buru meminta anak-anak untuk menghitung akar 24 = …..

Karena akar 24 jelas bukan bilangan bulat. Bahkan bukan bilangan pecahan. Tetapi merupakan bilangan irasional.

Saya  menegaskan agar kita selalu sadar himpunan apakah yang sedang kita bahas.