Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian

 Permutasi, Kombinasi, Peluang Kejadian 

                                 Notasi Faktorial dan Prinsip Dasar

Notasi Faktorial     n ! = n(n - 1) (n -2) ..................3.2. 1. Definisi 0! = 1 PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN) Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1 cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n2 cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n1.n2 cara yang berlainan. Contoh: Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7. Jawab: Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan. 5 ratusan 5 puluhan 3 satuan Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5 kemungkinan. Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan. Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.

Permutasi Misalkan ada 3 unsur a, b, c. Kita dapat mengurutkan sebagai abc,acb, bac, bca, cab, cba. Tiap urutan disebut permutasi 3 unsur. Dalam contoh di alas: ada 6 permutasi terdiri 3 unsur diambil ketiga-tiganya. Ditulis 3P3 = 6 Secara Umum Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah : nPk = n! / (n-k) ! Contoh: Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu. Jawab: Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong. Maka banyaknya cara duduk ada : 7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara Permutasi Siklis Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n-1) ! cara dengan urutan berlainan. Contoh: Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan? Jawab: Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.                           Kombinasi Kombinasi k unsur dari n unsur adalah pemilihan k unsur dari n unsur itu tanpa memperhatikun urutannya. nCk = n! / k!(n-k)! Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd. Contoh: Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih.Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehinggaa. Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.b. Keempat bola tersebut warnanya lama. Jawab: Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada 5C2 cara. Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2 ® = 150 cara. 4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih. Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada 6C4 cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada 5C6 cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: 6C4 + 5C4 =15 + 5 = 20 cara.                           Binonium Newton Binonium Newton adalah uraian binonium (suku dua) dengan rumus : (x+y)n = nC0Xn + nC1Xn-1y + ....... + nCnyn Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi lengkap. nCo = 1 nC1 = n!/1!(n-1)! = n nC2 = n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/1.2 nCn-1 = nC1 = n/1 = n nCn = 1 Catatan: banyaknya suku ruas kanan adalah n + 1 rumus tersebut dapat juga ditulis sebgai berikut :                   n                             n (x+y)n = å nCk xn-k yk = å (n! / k! (n-k)!) xn-k yk                  k=0                         k=0  Jika n kecil, koefisien binonium dapat dicari dengan segitiga pascal                     Peluang Kejadian  DEFINISI Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin. P(A) = k / n Dimana k : jumlah terjadinya kejadian A n : jumlah seluruh yang mungkin Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebutRuang Sampel Contoh: 1. Percobaan melempar uang logam 3 kali.    A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut.    Maka :     S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb}     A = {mmb, bmm}     n(S) = 23 = 8     n(A) = 2     P(A) = 2/8 = 1/4 2. Percobaan melempar dadu satu kali.    A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap.    Maka :     S = {1,2,3,4,5,6}     A = {2,4,6}     n(S) = 6     n(A) = 3     P(A) = 3/6 = 1/2 Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku              _ P(A) + P(A) = 1 Contoh: Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King? Jawab: P (King) = 4/52 = 1/13 P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13                      Peluang Kejadian Bebas dan Tak Bebas DEFINISI Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika P(AÇB) = P(A). P(B) Contoh: Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.a) Keduanya berwarna putihb) Keduanya berwama hitam Jawab: Misal A = bola putih dari tas IB = bola putih dari tas II P(A) = 4/6 P(B) = 3/8    _                  _ P(A) = 2/6      P(B) = 5/8 a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4         _        _         _      _ b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24 DEFINISI Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka berlaku : P (AUB) = P(A) + P(B) Contoh: Pada pelemparan sebuah dada merah (m) dan sebuah dadu putih (p). Maka: S={(1,1), (1,2), .....,(1,6), (2,1),(2,2),.....(6,6)}          n(S) - (6)2 = 36 A : Kejadian muncul m + p = 6 ® {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}     n(A) = 5 B : Kejadian muncul m + p = 10 ® {(4,6), (5,5), (6,4)}     n(B) = 3 P(A) = 5/36        P(B) = 3/36 AUB :Kejadian muncul m + p = 6 atau m + p = 10 ®        { (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (4,6) (5,1) (5,5) (6,4) }        n(AUB) = 8 P(AUB) = 8/36 = P(A) + P(B) A dan B kejadian yang saling asing. DEFINISI Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling asing maka berlaku P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AÇB) Contoh: Dalam pelemparan sebuah dada S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6} A : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan ganjil =      { 1, 3, 5 } ® n(A) = 3/6B : Kejadian muncul sisi dengan banyaknya mata dadu bilangan prima =      {2, 3, 5} ® n(B) = 3/6 P(AUB) = 4/6 = P(A) + P(B) A dan B kejadian yang tidak saling asing.